Question

11．如圖，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度數．
（2）若AE=2，BE=1，CD=4．求四邊形AECD的面積．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的性質定理證得AE=AF，進而證出△ABE≌△ADF，再得出∠CDA=120°；
（2）四邊形AECD的面積化為△AEC的面積+△ACD的面積，根據三角形面積公式求出結論．

解答 解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠ADF=∠ABE=60°，
∴∠CDA=180°-∠ADF=120°；

（2）由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴FD=BE=1，AF=AE=2，CE=CF=CD+FD=5，
∴BC=CE+BE=6，
∴四邊形AECD的面積=△AEC的面積+△ACD的面積=$\frac{1}{2}$CE•AE+$\frac{1}{2}CD•AF$=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×4×2=9．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，三角形的內角計算，熟練掌握全等三角形的性質定理是解題的關鍵．