Question

15．如圖，拋物線y=ax²+2ax（a＜0）位于x軸上方的圖象記為F₁，它與x軸交于P₁、O兩點，圖象F₂與F₁關于原點O對稱，F₂與x軸的另一個交點為P₂，將F₁與F₂同時沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₃與F₄；再將F₃與F₄同時沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₅與F₆；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F₁，F₂，…，F_n．我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”．

（1）當a=-1時，
①求P₁、P₂及圖象F₁的頂點坐標；
②點H（2015，-2）是否在“波浪拋物線”上，并說明理由；若圖象F_n的頂點T_n的橫坐標為201，請求出圖象對應的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）設圖象F_m、F_m+1的頂點分別為T_m、T_m+1（m為正整數），x軸上一點Q的坐標為（12，0）．試在圖中先標出Q點所在的位置，再探究：當a為何值時，以O、T_m、T_m+1、Q四點為頂點的四邊形為矩形？且直接寫出此時n的值．

Answer 1

分析 （1）①a=-1代入拋物線的解析式，然后令y=可求得對應的x的值，從而可得到p₁的坐標，然后依據平移的方向和距離可得到點P₂的坐標，接下來，利用配方法可求得拋物線的頂點F₁的坐標②根據該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1即可得出結論；
（2）設OQ中點為O′，則線段T_nT_n+1經過O′，再根據圖形平移的性質即可得出結論．

解答 解：（1）①當a=-1時，y=ax²+2ax=-x²-2x．
令-x²-2x=0，解得：x=0或x=-2．
∴點P₁的坐標為（-2，0）．
由平移的性質可知P₂的坐標為（2，0）．
∵y=-x²-2x=（x+1）²+1，
∴圖象F₁的頂點坐標為：（-1，1）；
②∵該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1，
∴點H（2015，-2），不在該“波浪拋物線”上，
∵圖象F_n的頂點T_n的橫坐標為201，
201÷4=50…1，故其圖象與F₂，F₄…形狀相同，
則圖象F_n對應的解析式為：y=（x-201）²-1，
其自變量x的取值范圍為：200≤x≤202．
（2）設OQ中點為O′，則線段T_nT_n+1經過O′，
由題意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′T_n+1，
∴當T_nT_n+1=OQ=12時，四邊形OT_nT_n+1Q為矩形，
∴O′T_n+1=6，
∵F₁對應的解析式為y=a（x+1）²-a，
∴F₁的頂點坐標為（-1，-a），
∴由平移的性質可知，點T_n+1的縱坐標為-a，
∴由勾股定理得（-a）²+（-1）²=6²，
∴a=±$\sqrt{35}$，
∵a＜0，
∴a=-$\sqrt{35}$，故此時n的值為4．

點評 本題考查的是二次函數綜合題，熟知二次函數平移的性質、二次函數的最值問題是解答此題的關鍵．