Question

5．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以點B為中心，把△ABC逆時針旋轉90°，得到△A₁BC₁；再以點C為中心，把△ABC順時針旋轉90°，得到△A₂B₁C，連接C₁B₁，則C₁B₁與BC的位置關系為平行；
（2）如圖2，當△ABC是銳角三角形，∠ABC=α（α≠60°）時，將△ABC按照（1）中的方式旋轉α，連接C₁B₁，探究C₁B₁與BC的位置關系，寫出你的探究結論，并加以證明；
（3）如圖3，在圖2的基礎上，連接B₁B，若C₁B₁=$\frac{2}{5}$BC，△C₁BB₁的面積為4，則△B₁BC的面積為10．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉變換的性質、平行四邊形的判定定理得到四邊形A₁CA₂C₁是平行四邊形，根據平行四邊形的性質證明；
（2）過C₁作C₁E∥B₁C，交BC于E，證明四邊形C₁ECB₁是平行四邊形即可；
（3）根據兩平行線間的距離相等求出△C₁BB₁的面積與△B₁BC的面積之比，計算即可．

解答 解：（1）由旋轉的性質可知，∠ACA₂=90°，A₁C₁=A₂C，∠BA₁C₁=∠A，
∴∠ACB+∠BCA₂=90°，
∴∠BA₁C₁=∠BCA₂，
∴A₁C₁∥A₂C，又A₁C₁=A₂C，
∴四邊形A₁CA₂C₁是平行四邊形，
∴C₁B₁∥BC，
故答案為：平行；
（2）C₁B₁∥BC；
證明：過C₁作C₁E∥B₁C，交BC于E，則∠C₁EB=∠B₁CB，
由旋轉的性質知，BC₁=BC=B₁C，∠C₁BC=∠B₁CB，
∴∠C₁BC=∠C₁EB，
∴C₁B=C₁E，
∴C₁E=B₁C，
∴四邊形C₁ECB₁是平行四邊形，
∴C₁B₁∥BC；
（3）∵C₁B₁=$\frac{2}{5}$BC，
∴$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
由（2）得，C₁B₁∥BC，
∴△C₁BB₁的面積：△B₁BC的面積=$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
∵△C₁BB₁的面積為4，
∴△B₁BC的面積為10，
故答案為：10．

點評 本題考查的是旋轉變換的性質、三角形的性質、平行四邊形的判定和性質，掌握兩平行線間的距離相等、旋轉變換的性質是解題的關鍵．