Question

20．如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四個結論：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正確結論的序號是①②④（請將所有正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析 根據角平分線性質即可推出①，根據勾股定理即可推出AR=AS，根據等腰三角形性質推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據平行線判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．無法判斷△BRP≌△QSP；連接RS，與AP交于點D，先證△ARD≌△ASD，則RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．

解答 解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR²=AP²-PR²，AS²=AP²-PS²，
∵AD=AD，PR=PS，
∴AR=AS，∴①正確；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正確；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不滿足三角形全等的條件，故③錯誤；
④如圖，連接RS，與AP交于點D．
在△ARD和△ASD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AR=AS}\\{∠RAP=∠SAP}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
所以△ARD≌△ASD．
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
所以AP垂直平分RS，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的判定，角平分線性質的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．