Question

5．如圖，△ABC中，AB=BC，線段AB上有一點(diǎn)D，以CD為底邊作等腰△ECD，
（1）如圖1，∠A=45°，∠EDC=30°，D為AB中點(diǎn)，AB=2，求：ED的長；
（2）如圖2，∠BAC=30°，∠EDC=60°，連接EA、EB，求證：BD+BC=BE；
（3）如圖3，∠BAC=30°，∠EDC=45°，F(xiàn)為EC中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)H，當(dāng)DF∥BC時(shí)，直接寫出$\frac{BC}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EH⊥CD于H．在Rt△BDC中，由BD=1，BC=AB=2，推出CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，由ED=EC，EH⊥DC，推出DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△DEH中，根據(jù)cos30°=$\frac{DH}{DE}$，即可求出DE．
（2）如圖2中，延長ED交CB的延長線于H，在BE上取一點(diǎn)M，使得BM=BC，連接CM．由△HDB∽△HCE，推出$\frac{HD}{HC}$=$\frac{HB}{HE}$，推出$\frac{HD}{HB}$=$\frac{HC}{HE}$，由∠H=∠H，推出△HDC∽△HBE，推出∠HEB=∠HCD，由∠DOE=∠BOC，推出∠BCE=∠EDC=60°，再證明△BCD≌△MCE，推出EM=BD，即可解決問題．
（3）如圖3中，作FM⊥CD于M，DN⊥CB于N．設(shè)DE=EC=2a，由tan∠FDM=tan∠DCN=$\frac{FM}{DM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{DN}{CN}$，設(shè)DN=m，則CN=3m，求出BD、BC即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作EH⊥CD于H．

∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠B=90°，
在Rt△BDC中，∵BD=1，BC=AB=2，
∴CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵ED=EC，EH⊥DC，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△DEH中，∵∠EDH=30°，
∴cos30°=$\frac{DH}{DE}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

（2）如圖2中，延長ED交CB的延長線于H，在BE上取一點(diǎn)M，使得BM=BC，連接CM．

∵ED=EC，∠EDC=60°，
∴△DEC是等邊三角形，
∴DC=CE，
∵BA=BC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACB=30°，
∴∠ABC=120°，∠DBH=60°=∠HEC，
∵∠H=∠H，
∴△HDB∽△HCE，
∴$\frac{HD}{HC}$=$\frac{HB}{HE}$，
∴$\frac{HD}{HB}$=$\frac{HC}{HE}$，∵∠H=∠H，
∴△HDC∽△HBE，
∴∠HEB=∠HCD，
∵∠DOE=∠BOC，
∴∠BCE=∠EDC=60°，
∴△BMC是等邊三角形，
∴CM=CB，∠BCM=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠MCE，
在△BCD和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=MC}\\{∠BCD=∠MCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△MCE，
∴EM=BD，
∴BE=BM+EM=BC+BD．

（3）如圖3中，作FM⊥CD于M，DN⊥CB于N．設(shè)DE=EC=2a，

∵BA=BC，R=ED=EC=2a，∠BAC=30°，∠EDC=45°，F(xiàn)為EC中點(diǎn)，
∴∠ABC=120°，∠E=90°，EF=FC=a，F(xiàn)M=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在Rt△EDF中，DF=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
在Rt△DMF中，DM=$\sqrt{（\sqrt{5}a）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∵DF∥BC，
∴tan∠FDM=tan∠DCN=$\frac{FM}{DM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{DN}{CN}$，設(shè)DN=m，則CN=3m，
在Rt△DBN中，∵∠DBN=60°，
∴∠NDB=30°，
∴BN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，BC=CN-BN=3m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{3m-\frac{\sqrt{3}}{3}m}{\frac{2\sqrt{3}}{3}m}$=$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．