Question

11．已知：如圖，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求BC的長．

Answer 1

分析 先根據三角形內角和定理求出∠C的度數，再過點A作AD⊥BC于點D，根據銳角三角函數的定義求出AD的長，再根據勾股定理求出BD的長，進而可得出結論．

解答 解：∵∠A=105°，∠B=30°．
∴∠C=45°．
過點A作AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2．
∴∠DAC═∠C=45°．
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\sqrt{2}$．
∴AD=CD=$\sqrt{2}$．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°．
∵AD=$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$．
∴由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}=\sqrt{6}$．
∴BC=BD+CD=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是解直角三角形及勾股定理、銳角三角函數的定義等知識，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．