Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+3經過A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，點P是拋物線上一點，過點P作PD∥y軸交線段BC干點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示線段PD的長．
②探究是否存在點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，求此時點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式，可求得a、b的值，可求得拋物線解析式；
（2）①由拋物線解析式可求得C點坐標，利用待定系數法可求得直線BC的解析式，用m則可表示出點P、D的坐標，則可表示出PD的長；②用m可分別表示出PD、PC、CD的長，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三種情況可得出關于m的方程，可求得m的值，則可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經過A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）①在y=-x²+2x+3中，令x=0可得y=3，
∴C（0，3），且B（3，0），
∴直線BC解析式為y=-x+3，
∵點P是拋物線上一點，
∴P（m，-m²+2m+3），D（m，-m+3），
∵點D在點P下方，
∴PD=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
②∵點P在線段BC上，
∴m＞0，
∵P（m，-m²+2m+3），D（m，-m+3），C（0，3），
∴PD=-m²+3m，PC=$\sqrt{{m}^{2}+（-{m}^{2}+2m+3-3）^{2}}$=m$\sqrt{{m}^{2}-4m+5}$，CD=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+3-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$m，
當△PCD為等腰三角形時，則有PD=PC、PD=CD和PC=CD三種情況，
當PD=PC時，則有-m²+3m=m$\sqrt{{m}^{2}-4m+5}$，
解得m=0（舍去）或m=$\frac{2}{5}$，
此時P點坐標為（$\frac{2}{5}$，$\frac{91}{25}$）；
當PD=CD時，則有-m²+3m=$\sqrt{2}$m，
解得m=0（舍去）或m=3-$\sqrt{2}$，
此時P點坐標為（3-$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$-2）；
當PC=CD時，則有m$\sqrt{{m}^{2}-4m+5}$=$\sqrt{2}$m，
解得m=0（舍去）或m=3（P、D重合，舍去）或m=1，
此時P點坐標為（1，4）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（$\frac{2}{5}$，$\frac{91}{25}$）或（3-$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$-2）或（1，4）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、勾股定理、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想．在（1）中注意待定系數法的步驟，在（2）②中用m分別表示出PD、PC和CD的長是解題的關鍵，注意分三種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大，難度適中．