Question

8．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）連接EF，求證：AD垂直平分EF．

Answer 1

分析 （1）由于D是BC的中點，那么BD=CD，而BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易證Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分線的判定定理可知點D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC；
（2）根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵D是BC的中點
∴BD=CD，
又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴點D在∠BAC的平分線上，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC-CF，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF．

點評 本題考查了角平分線的判定定理、全等三角形的判定和性質．解題的關鍵是證明Rt△BDE≌Rt△CDF．