Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交 AB于點F．

（1）求證：AE為⊙O的切線．

（2）當BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑．

（3）在（2）的條件下，求線段BG的長．

Answer 1

【考點】圓的綜合題．

【專題】證明題．

【分析】（1）連接OM．利用角平分線的性質和平行線的性質得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為R，根據OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質得到=，即可解得R=3，從而求得⊙O的半徑為3；

（3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結論BG=2BH=2．

【解答】（1）證明：連接OM．

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切線；

 

（2）設⊙O的半徑為R，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴=即=，

解得R=3，

∴⊙O的半徑為3；

 

（3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，

∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，

∴四邊形OMEH是矩形，

∴HE=OM=3，

∴BH=1，

∴BG=2BH=2．

【點評】本題考查了圓的綜合知識，題目中還運用到了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大．