Question

8．已知∠AOB為銳角，如圖（1）．
（1）若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠MON=32°，∠COD=10°，如圖（2）所示，求∠AOB的度數．
（2）若OM，OD，OC，ON是∠AOB的五等分線，如圖（3）所示，以射線OA，OM，OD，OC，ON，OB為始邊的所有角的和為980°，求∠AOB的度數．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義容易得到，∠MON=∠CON+∠DON-∠COD，根據已知條件求得∠COM+∠DON=42°，即可求得∠AOM+∠BON=42°，從而求得∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON=74．
（2）設∠AOB被五等分的每個角為x°，則∠AOB=5x°，分別表示出以射線OA、OM、OD、OC、ON、OB為始邊的所有角的度數，根據題意列出關于x的方程，解方程求得x的值，即可求得∠AOB的度數．

解答 解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=∠COM，
同理：∠BON=∠DON，
∵∠MON=32°，∠COD=10°，∠MON=∠CON+∠DON-∠COD，
∴32°=∠COM+∠DON-10°，
∴∠COM+∠DON=42°，
∴∠AOM+∠BON=42°，
∵∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON，
∴∠AOB=42°+32°=74°；
（2）設∠AOB被五等分的每個角為x°，則∠AOB=5x°，
以射線OA為始邊的所有角的度數為x°+2x°+3x°+4x°+5x°=15x°，
以射線OM、OD、OC、ON、OB為始邊的所有角的度數分別為11x°，9x°，9x°11x°，15x°，
由題意得15x+11x+9x+9x+11x+15x=980，
解得x=14．
故∠AOB=5×14°=70°．

點評 本題考查了角平分線定義，角的有關計算的應用，解此題的關鍵是找出角度關系．