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20.已知拋物線的頂點A的坐標為(4,6),且經過點B(0,2).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點P在直線y=x上,且PA+PB的值最小,求點P的坐標及PA+PB的最小值.

分析 (1)由于已知拋物線的頂點坐標,則可設頂點式y=a(x-4)2+6,然后把B(0,2)代入求出a的值即可.
(2)先作出點B關于直線y=x的對稱點B′,再連接AB′,求出直線A′B的函數解析式,再聯立直線y=x列方程組即可求得P點的坐標,根據勾股定理即可求得PA+PB的最小值.

解答 解:(1)設拋物線的解析式為y=a(x-4)2+6,
把(0,2)代入得16a+6=2,
解得a=-$\frac{1}{4}$,
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$(x-4)2+6.
(2)解:如圖,作點B關于直線y=x的對稱點B′,
則PB=PB′,
故PA+PB=PB′+PA=AB′,
由圖知,只有當A、P、B′共線時,PA+PB最小,
又由B與B′關于y=x對稱知,B′(2,0),
由A、B′兩點坐標得AB′的解析式為y=3x-6,
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=x}\end{array}\right.$,
解得x=y=3,
故當PA+PB最小時,P的坐標為(3,3).
AB′=$\sqrt{(4-2)^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$
∴PA+PB的最小值為2$\sqrt{10}$.

點評 本題考查了待定系數法求二次函數關系式:要根據題目給定的條件,選擇恰當的方法設出關系式,從而代入數值求解.一般地,當已知拋物線上三點時,常選擇一般式,用待定系數法列三元一次方程組來求解;當已知拋物線的頂點或對稱軸時,常設其解析式為頂點式來求解;當已知拋物線與x軸有兩個交點時,可選擇設其解析式為交點式來求解.也考查了軸對稱--最短路線問題,綜合運用了一次函數和方程組的知識,兩點之間線段最短是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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