Question

20．已知拋物線的頂點A的坐標為（4，6），且經過點B（0，2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點P在直線y=x上，且PA+PB的值最小，求點P的坐標及PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y=a（x-4）²+6，然后把B（0，2）代入求出a的值即可．
（2）先作出點B關于直線y=x的對稱點B′，再連接AB′，求出直線A′B的函數解析式，再聯立直線y=x列方程組即可求得P點的坐標，根據勾股定理即可求得PA+PB的最小值．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-4）²+6，
把（0，2）代入得16a+6=2，
解得a=-$\frac{1}{4}$，
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+6．
（2）解：如圖，作點B關于直線y=x的對稱點B′，
則PB=PB′，
故PA+PB=PB′+PA=AB′，
由圖知，只有當A、P、B′共線時，PA+PB最小，
又由B與B′關于y=x對稱知，B′（2，0），
由A、B′兩點坐標得AB′的解析式為y=3x-6，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得x=y=3，
故當PA+PB最小時，P的坐標為（3，3）．
AB′=$\sqrt{（4-2）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$
∴PA+PB的最小值為2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數關系式：要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了軸對稱--最短路線問題，綜合運用了一次函數和方程組的知識，兩點之間線段最短是解題的關鍵．