Question

13．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數字等式，例如圖1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．請解答下列問題：
（1）寫出圖2中所表示的數學等式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca；
（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26，求a²+b²+c²的值；
（3）小明同學用2張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個長方形，那么該長方形較長一邊的邊長為多少？
（4）小明同學又用x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個面積為（25a+7b）（2a+5b）長方形，那么9（x+y+z）=2016．

Answer 1

分析 （1）直接求得正方形的面積，然后再根據正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可；
（2）將a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入（1）中得到的關系式，然后進行計算即可；
（3）先列出長方形的面積的代數式，然后分解代數式，可得到矩形的兩邊長；
（4）長方形的面積xa²+yb²+zab=（25a+7b）（9a+5b），然后運算多項式乘多項式法則求得（25a+7b）（2a+45b）的結果，從而得到x、y、z的值，代入即可求解．

解答 解：（1）正方形的面積可表示為=（a+b+c）²；
正方形的面積=各個矩形的面積之和=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）=9²-26×2=81-52=29．
（3）長方形的面積=2a²+5ab+3b²=（2a+3b）（a+b）．
所以長方形的邊長為2a+3b和a+b，
所以較長的一邊長為2a+3b．
（4）∵長方形的面積=xa²+yb²+zab=（25a+7b）（2a+5b）=50a²+14ab+125ab+35b²=50a²+1251ab+35b²，
∴x=50，y=139，z=35．
∴9（x+y+z）=2016．
故答案為：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca；2016．

點評 本題考查的是多項式乘多項式、因式分解的應用，利用面積法列出等式是解題的關鍵．