Question

13．設a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²…，容易知道a₁=8，a₂=16，a₃=24，如果一個數能表示為8的倍數，我們就說它能被8整數，所以a₁，a₂，a₃都能被8整除．
（1）試探究a_n是否能被8整除，并用文字語言表達出你的結論．
（2）若一個數的算術平方根是一個自然數，則稱這個數是“完全平方數”，試找出a₁，a₂，a₃…a_n這一系列數中從小到大排列的前4個完全平方數，并說出當n滿足什么條件時，a_n為完全平方數．

Answer 1

分析 （1）由題意，a_n是相鄰倆奇數2n+1、2n-1的平方差，化簡結果是8的倍數，可整除；
（2）由a_n=8n找到前四個完全平方數，從下標2、8、18、32可知它們是一個完全平方數的2倍．

解答 解：（1）由題意得：
$\begin{array}{l}{a_n}={（2n+1）^2}-{（2n-1）^2}\\ \;\;\;\;=4{n^2}+4n+1-（4{n^2}-4n+1）\\ \;\;\;\;=8n\end{array}$
∴a_n能被8整除．
（2）由（1）知a_n=8n，
當n=2時，${a}_{2}=16={4}^{2}，是完全平方數$；
當n=8時，${a}_{8}=64={8}^{2}，是完全平方數$；
當n=18時，${a}_{18}=144=1{2}^{2}，是完全平方數$；
當n=32時，${a}_{32}=256=1{6}^{2}，是完全平方數$．
這一系列數中從小到大排列的前4個完全平方數依次為：16、64、144、256．
由a₂、a₈、a₁₈、a₃₂四個完全平方數可知n=2×m²，
所以n為一個完全平方數兩倍時，a_n是完全平方數．

點評 本題主要考查了數字的變化規律，利用代數式來表示一般規律，利用已總結的規律進一步探索、發現、歸納得出下一步結論是本題難點．