Question

3．在△DEF中，DE=DF，點B在EF邊上，且∠EBD=60°，C是射線BD上的一個動點（不與點B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA=BC，連接AC．
（1）當點C在線段BD上時，
①若點C與點D重合，請根據題意補全圖1，并直接寫出線段AE與BF的數量關系為AE=BF；
②如圖2，若點C不與點D重合，請證明AE=BF+CD；
（2）當點C在線段BD的延長線上時，用等式表示線段AE，BF，CD之間的數量關系（直接寫出結果，不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，根據已知條件得到△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質得到AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，由鄰補角的性質得到∠EAD=∠FBD=120°，推出△ADE≌△BDF，根據全等三角形的性質即可得到結論；②證明：在BE上截取BG=BD，連接DG，得到△GBD是等邊三角形．同理，△ABC也是等邊三角形．求得AG=CD，通過△DGE≌△DBF，得到GE=BF，根據線段的和差即可得到結論；
（2）如圖3，連接DG，由（1）知，GE=BF，AG=CD，根據線段的和差和等量代換即可得到結論；如圖4，連接DG，由（1）知，GE=BF，AG=CD，根據線段的和差和等量代換即可得到結論．

解答 解：（1）①如圖1，∵BA=BC，∠EBD=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠EAD=∠FBD=120°，
∵DE=DF，
∴∠E=∠F，
在△AEC與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EAD=∠FBD}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF；
故答案為：AE=BF；

②證明：在BE上截取BG=BD，連接DG，
∵∠EBD=60°，BG=BD，
∴△GBD是等邊三角形．
同理，△ABC也是等邊三角形．
∴AG=CD，
∵DE=DF，∴∠E=∠F．
又∵∠DGB=∠DBG=60°，
∴∠DGE=∠DBF=120°，
在△DGE與△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EGD=∠FBD}\\{DG=BD}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DBF，
∴GE=BF，
∴AE=BF+CD；

（2）如圖3，連接DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=EG-AG；
∴AE=BF-CD，
如圖4，連接DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=AG-EG；
∴AE=CD-BF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．