Question

10．四邊形ABCD、AEFG都是正方形，當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖，連接DG、BE，并延長BE交DG于點(diǎn)H，且BH⊥DG與H，若AB=4，AE=$\sqrt{2}$時，則線段BH的長是（　　）

• A． $4\sqrt{2}$
• B． 16
• C． $\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N，連結(jié)DE，由于正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=$\sqrt{2}$可得到AN=GN=1，所以DN=4-1=3，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出DG=$\sqrt{10}$，則BE=$\sqrt{10}$，解著利用S_△DEG=$\frac{1}{2}$GE•ND=$\frac{1}{2}$DG•HE可計(jì)算出HE，所以BH=BE+HE．

解答 解：連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N，連結(jié)DE，如圖，

∵正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，
∴AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=$\sqrt{2}$，
∴AN=GN=1，
∴DN=4-1=3，
在Rt△DNG中，DG=$\sqrt{D{N}^{2}+G{N}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
由題意可得：△ABE相當(dāng)于逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGD，
∴DG=BE=$\sqrt{10}$，
∵S_△DEG=$\frac{1}{2}$GE•ND=$\frac{1}{2}$DG•HE，
∴HE=$\frac{6}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴BH=BE+HE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$+$\sqrt{10}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．