Question

18．如圖，已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．
（1）如圖1，將三角板的一邊ON與射線OB重合，過點(diǎn)O在三角板的內(nèi)部，作射線OC，使∠NOC：∠MOC=2：1，則∠MOC=30°．
（2）如圖2，將三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度到圖2的位置，過點(diǎn)O在三角板MON的內(nèi)部作射線OC，使得OC恰好是∠MOB對的角平分線；
試研究：∠AOM與∠NOC滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）將如圖1所示的三角板MON繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜90°）到如圖3所示的位置，在∠BON的內(nèi)部作射線OC使得∠NOC=$\frac{1}{6}$∠AON，則∠BOC的度數(shù)為$\frac{7}{6}$α°-30°（用含α的代數(shù)式表示）（請直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角的倍分關(guān)系即可求解；
（2）令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC=90°-β，根據(jù)∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°即可得到∠AOM與∠NOC滿足的數(shù)量關(guān)系；
（3）根據(jù)∠BON=α°，得到∠AON=180°-α°，得到∠AOC=210°-$\frac{7}{6}$α°，再根據(jù)平角的定義得到∠BOC的度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠NOC：∠MOC=2：1，
∴∠MOC=90°×$\frac{1}{2+1}$=30°．
（2）∠AOM=2∠NOC，
令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC=90°-β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°，
∴γ+90°-β+90°-β=180°，
∴γ-2β=0，即γ=2β，
∴∠AOM=2∠NOC．
（3）∠BOC的度數(shù)為$\frac{7}{6}$α°-30°．
∵∠BON=α°，
∴∠AON=180°-α°，
∴∠AOC=∠AON+∠NOC=∠AON+$\frac{1}{6}$∠AON=$\frac{7}{6}$∠AON=210°-$\frac{7}{6}$α°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=$\frac{7}{6}$α°-30°．
故答案為：30°；$\frac{7}{6}$α°-30°．

點(diǎn)評 此題考查了角的計算，余角和補(bǔ)角，本題難度較大，關(guān)鍵是熟練掌握角的和差倍分關(guān)系．