Question

5．某家禽養殖場，用總長為110m的圍欄靠墻（墻長為22m）圍成如圖所示的三塊矩形區域，矩形AEHG與矩形CDEF面積都等于矩形BFHG面積的一半，設AD長為xm，矩形區域ABCD的面積為ym²．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據矩形AEHG與矩形CDEF面積都等于矩形BFHG面積的一半，得到矩形AEFB面積是矩形CDEF面積的3倍，求得AD=3DE，于是得到y=x（55-$\frac{11}{8}$x）=-$\frac{11}{8}$x²+55x，自變量x的取值范圍為：24≤x＜40；
（2）把y=-$\frac{11}{8}$x²+55x化為頂點式：y=-$\frac{11}{8}$（ x-20）²+550，根據二次函數的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵矩形AEHG與矩形CDEF面積都等于矩形BFHG面積的一半，
∴矩形AEFB面積是矩形CDEF面積的3倍，
∴AD=4DE，
∵AD=x，
∴GH=$\frac{3}{4}$x，
∵圍欄總長為110m，
∴2x+$\frac{3}{4}$x+2CD=110，
∴CD=55-$\frac{11}{8}$x，
∴y=x（55-$\frac{11}{8}$x）=-$\frac{11}{8}$x²+55x，
∴自變量x的取值范圍為：24≤x＜40；

（2）∵y=-$\frac{11}{8}$x²+55x=-$\frac{11}{8}$（ x²-40 x）=-$\frac{11}{8}$（ x-20）²+550，
∵自變量x的取值范圍為：24≤x＜40，且二次項系數為-$\frac{11}{8}$＜0，
∴當x=24時，y有最大值，最大值為528平方米．

點評 此題考查了二次函數的應用，以及列代數式，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．