Question

12．觀察規律：
$\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{{（{\sqrt{2}+1}）（{\sqrt{2}-1}）}}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{2-1}=\sqrt{2}-1\end{array}\begin{array}{l}$
$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{{（{\sqrt{3}+\sqrt{2}}）（{\sqrt{3}-\sqrt{2}}）}}=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{array}$
同理可得：$\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}\end{array}$
依照上述規律，則：$\frac{1}{{\sqrt{11}+\sqrt{10}}}$=$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$； $\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1的整數）；
$（{\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}}}）（{\sqrt{2016}+1}）$=2015．

Answer 1

分析 仿照上述計算過程將原式變形，化簡即可得到結果；原式括號中分母有理化后，利用平方差公式計算即可得到結果．

解答 解：$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{（\sqrt{11}+\sqrt{10}）（\sqrt{11}-\sqrt{10}）}$=$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$，$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）（$\sqrt{2016}$+1）=（$\sqrt{2016}$-1）（$\sqrt{2016}$+1）=2016-1=2015，
故答案為：$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$；$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；2015

點評 此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．