Question

16．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結論：
①四邊形CFHE是菱形；②線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；
③EC平分∠DCH；④當點H與點A重合時，EF=2$\sqrt{5}$
以上結論中，你認為正確的有①②④．（填序號）

Answer 1

分析 ①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據翻折的性質可得CF=FH，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；
②點H與點A重合時，設BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點D重合時，CF=CD，求出BF=4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出②正確；
③根據菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，判斷出③錯誤；
④過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．

解答 解：①∵FH與EG，EH與CF都是原來矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四邊形CFHE是平行四邊形，
由翻折的性質得，CF=FH，
∴四邊形CFHE是菱形，
故①正確；
②點H與點A重合時，設BF=x，則AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
點G與點D重合時，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，
故②正確；
③∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，
故③錯誤；
過點F作FM⊥AD于M，
則ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF=$\sqrt{M{F}^{2}+M{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故④正確．
綜上所述，結論正確的有①②④．
故答案為：①②④．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質、勾股定理的綜合應用，熟練掌握菱形的判定定理和性質定理、勾股定理是解本題的關鍵．