Question

4．我市在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧的惠農富農，老張在科技人員的指導下，改良柑橘品種，去年他家的柑橘喜獲豐收，而且質優味美，客商聞訊前來采購，經協商：采購價y（元/噸）與采購量x（噸）之間的函數關系如圖所示．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）老張種植柑橘的成本是800元/噸，當客商采購量是多少時，老張在這次銷售柑橘時獲利最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）分別根據當0＜x≤10時，y=2000，當10＜x≤20時，設函數關系式為y=kx+b，分別求出即可；
（2）利用當0＜x≤10時，老張獲得的利潤為：w=（2000-1200）x，當10＜x≤20時，老張獲得的利潤為w=（-80x+28 00-800）x分別求出即可．

解答 解：（1）當0＜x≤10時，y=2000．
當10＜x≤20時，設BC滿足的函數關系式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=2000}\\{20k+b=1200}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-80}\\{b=2800}\end{array}\right.$，
∴y與x之間的函數關系式為：y=-80x+2800．

（2）當0＜x≤10時，老張獲得的利潤為：
w=（2000-800）x
=1200x≤12 000，此時老張獲得的最大利潤為12 000元．
當10＜x≤20時，老張獲得的利潤為w=（-80x+2800-800）x
=-80（x²-25x）=-80（x-12.5）²+12500．
∴當x=12.5時，利潤w取得最大值，最大值為12500元．
∵12500＞12 000，
∴當客商的采購量為12.5噸時，老張在這次買賣中所獲得的利潤最大，最大利潤為12500元．

點評 此題主要考查了二次函數的應用以及分段函數的應用，根據數形結合以及分類討論得出是解題關鍵．