Question

2．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A（1，0）和B兩點，與y軸交于C（0，2）點，點D與點C關于拋物線的對稱軸l對稱．連接AC，AD．
（1）求拋物線的解析式．
（2）P是拋物線上一點．若∠PDA與∠OAC互余，求點P的坐標．
（3）在拋物線對稱軸l上是否存在一點Q．使△QAD為直角三角形？若存在，請直接寫出所有Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b，c的值，然后可得到拋物線的解析式；
（2）先求得拋物線與y軸的交點坐標，然后再求得拋物線的對稱軸，從而可得到點D的坐標，依據兩點間的距離公式可求得AC、AD、CD的長，可證明△CAD為直角三角形，故此可知∠DAB與∠CAO互余，只要角∠PDA=∠DAB即可，如圖1所示當PD∥AB時，可求得點P與點C重合；如圖2所示：作AD的垂直平分線交x軸與點G，作射線DG交拋物線與點P，交AD與點E．依據線段的中點坐標公式可求得點E的坐標，然后再求得EG的解析式，可得到點G的坐標，接下來，求得DG的解析式，最后將DG的解析式與拋物線的解析式聯立可求得點P的坐標；
（3）設點Q的坐標為（$\frac{5}{2}$，y）．依據兩點間的距離公式可知：AD²=（5-1）²+（2-0）²=20，AQ²=（2.5-1）²+y²，DQ²=（5-2.5）²+（y-2）²．然后分為AD²+AQ²=DQ²時；AD²+DQ²=AQ²時；當AQ²+DQ²=AD²時三種情況列方程求解即可．

解答 解：（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得：b=-$\frac{5}{2}$，c=2．
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2．

（2）如圖1所示：

將x=0代入拋物線的解析式得：y=2，
∴點C的坐標為（0，2）．
∵點C與點D關于l對稱，
∴點D的坐標為（5，2）．
令y=0得：
拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{5}{2}$，
∵點C與點D關于x=-$\frac{5}{2}$對稱，
∴依據兩點間的距離公式可知AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵AC²+AD²=AD²，
∴△ACD為直角三角形．
∴∠CAO+∠DAB=90°．
又∵∠OCA+∠CAO=90°，
∴∠OCA=∠DAB．
∴當∠PDA=∠DAB時，∠PDA與∠OAC互余．
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠DAB．
∴點P與點C重合．
∴點P的坐標為（0，2）．
如圖2所示：作AD的垂直平分線交x軸與點G，作射線DG交拋物線與點P，交AD與點E．

∵點E是AD的中點，
∴點E的坐標為（3，1）．
設AD的解析式為y=kx+b，將點A和點D的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$．
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
設直線EG的解析式為y=-2x+n，將點E的坐標代入得：-6+n=1，解得n=7，
∴直線EG的解析式為y=-2x+7．
將y=0代入得：-2x+7=0，解得：x=3.5．
∴點G的坐標為（3.5，0）．
設DG的解析式為y=ax+m，將D和G的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3.5a+m=0}\\{5a+m=2}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{4}{3}$，m=-$\frac{14}{3}$．
∴直線DG的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{14}{3}$．
將y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{14}{3}$與y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2聯立解得：x=5或x=$\frac{8}{3}$，
當x=$\frac{8}{3}$時，y=-$\frac{10}{9}$，
∴點P的坐標為（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．
∴點P的坐標為（0，2）或（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．

（3）設點Q的坐標為（$\frac{5}{2}$，y）．
依據兩點間的距離公式可知：AD²=（5-1）²+（2-0）²=20，AQ²=（2.5-1）²+y²，DQ²=（5-2.5）²+（y-2）²．
當AD²+AQ²=DQ²時，（2.5-1）²+y²+20=（5-2.5）²+（y-2）²，解得：y=-3，
∴點Q的坐標為（$\frac{5}{2}$，-3）．
當AD²+DQ²=AQ²時，20+（5-2.5）²+（y-2）²=（2.5-1）²+y²，解得：y=7，
∴點Q的坐標為（$\frac{5}{2}$，7）．
當AQ²+DQ²=AD²時，（2.5-1）²+y²+（5-2.5）²+（y-2）²=20，解得：y=1±$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
∴點Q的坐標為（$\frac{5}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．
綜上所述，點Q的坐標為（$\frac{5}{2}$，-3）或（$\frac{5}{2}$，7）或（$\frac{5}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，兩點間的距離公式、勾股定理的逆定理，依據勾股定理的逆定理列出關于y的方程是解題的關鍵．