Question

8．如圖，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，過直角頂點C作CA₁⊥AB，垂足為A₁，再過A₁作A₁C₁⊥BC，垂足為C₁，過C₂作C₂A₂⊥AB，垂足為A₂，再過A₃作A₃C₃⊥BC，垂足為C₃，…，這樣一直做下去，得到了一組線段CA₁，A₁C₁，C₂A₂，…，則$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可知：CA₁∥C₁A₂∥…C_n-1A_n，所以△CA₁C₁∽△C₁A₂C₂∽…∽△C_n-1A_nC_n∽△ABC，可知$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{C{A}_{1}}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$

解答 解：由題意可知：CA₁∥C₁A₂∥…C_n-1A_n
∴△CA₁C₁∽△C₁A₂C₂∽…∽△C_n-1A_nC_n∽△ABC
∴$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{C{A}_{1}}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$
由勾股定理可知：AB=5，
∴$\frac{{C}_{n-1}{A}_{n}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{4}$
故答案為：$\frac{5}{4}$

點評 本題考查相似三角形的性質與判定，考查學生的化歸思想，以及考查學生的觀察能力．