Question

14．將矩形ABCD沿EF折疊，使點B與CD邊中點B′重合，A′B′交AD于點G，若AE=1，AB=2，BC=3，下面有4個結論中，正確的個數是（　　）
①△A′EG≌△DB′G；②B′F=$\frac{5}{3}$；③S_△FCB′：S_△B′DG=16：9；④S_{四邊形EGB′F}=$\frac{50}{24}$．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由折疊的性質得到A′E=AE=1根據已知條件得到DB′=EA′=B′C=1，根據全等三角形的判定定理得到△A′EG≌△DB′G，故①正確，設B′F=BF=x，于是得到FC=BC-BF=3-x，根據勾股定理得到B′F=$\frac{5}{3}$，故②正確，根據勾股定理得到A′G=$\frac{3}{4}$，根據三角形的面積公式得到S_△FCB′：S_△B′DG=$\frac{2}{3}$：$\frac{3}{8}$=16：9，故③正確，
根據圖形的面積公式剛剛S_{四邊形EGB′F}=S_{四邊形A′B′FE}-S_△A′EG=S_{四邊形ABFE}-S_△A′EG=$\frac{1}{2}$（AE+BF）•AB-$\frac{1}{2}$A′G•AE=$\frac{55}{24}$，故④錯誤．

解答 解：由折疊的性質得到A′E=AE=1，
∵CD=AB=2，B′是CD的中點，
∴DB′=EA′=B′C=1，
在△A′EG和△DB′G中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A′GE=∠DGB′}\\{∠A′=∠D=90°}\\{EA′=DB′}\end{array}\right.$，
∴△A′EG≌△DB′G，∴①正確，
設B′F=BF=x，
∴FC=BC-BF=3-x，
在Rt△B′CF中，B′F²=FC²+B′C²，
即x²=（3-x）²+1²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
即B′F=$\frac{5}{3}$，∴②正確，
∵BF=B′F=$\frac{5}{3}$，
∴FC=BC-BF=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
由①知，①△A′EG≌△DB′G，
∴A′G=DG，EG=GB′=AB-A′G=2-A′G，
在Rt△A′GD中，A′G²+A′E²=EG²，即A′G²+1²=（2-A′G）²，
解得：A′G=$\frac{3}{4}$，
S_△FCB′=$\frac{1}{2}$FC•B′C=$\frac{2}{3}$，S_△B′DG=$\frac{1}{2}$DG•DB′=$\frac{3}{8}$，
∴S_△FCB′：S_△B′DG=$\frac{2}{3}$：$\frac{3}{8}$=16：9，∴③正確，
S_{四邊形EGB′F}=S_{四邊形A′B′FE}-S_△A′EG=S_{四邊形ABFE}-S_△A′EG=$\frac{1}{2}$（AE+BF）•AB-$\frac{1}{2}$A′G•AE=$\frac{55}{24}$，∴④錯誤，
故選C．

點評 本題考查了翻折變換（折疊問題），全等三角形的判定和性質，勾股定理，圖形面積的計算，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．