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16.在正方形ABCD中,點E為BC邊上一點,連接AE.以AE為一邊作∠EAF=45°,AF交直線BC于點F.連接DF.若AB=6.BE=2.則線段DF的長為6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{13}$.

分析 根據(jù)AF的不確定,分兩種情況:
①當(dāng)AF在AE的右側(cè)時,如圖1,證明△ABH≌△ADG和△AHE≌△AGE,得EG=EH,設(shè)DG=x,在Rt△ECG中,利用勾股定理列方程解出即可,最后再利用勾股定理求DF的長;
②當(dāng)AF在AE的左側(cè)時,如圖2,設(shè)BF=x,同理可求出x的值,同理可利用勾股定理求DF的長.

解答 解:分兩種情況:
①當(dāng)AF在AE的右側(cè)時,如圖1,
延長CB至H,使BH=DG,連接AH,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ABH=∠ADC=90°,
∴△ABH≌△ADG,
∴∠HAB=∠GAD,AG=AH,
∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠GAD=∠BAE+∠HAB=45°,
即∠HAE=45°,
∴∠HAE=∠EAF,
∵AE=AE,
∴△AHE≌△AGE,
∴EG=EH,
設(shè)DG=x,則CG=6-x,EG=EH=2+x,
∵BC=6,BE=2,
∴EC=4,
由勾股定理得:(2+x)2=(6-x)2+42
x=3,
∴CG=6-x=6-3=3,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴CG∥AB,
∴△GCF∽△ABF,
∴$\frac{GC}{AB}=\frac{CF}{BF}$,
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{CF}{CF+6}$,
∴CF=6
在Rt△DCF中,由勾股定理得:DF=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$,
②當(dāng)AF在AE的左側(cè)時,如圖2,
設(shè)BF=x,
在DC上截取DG=BF=x,連接AG、EG,
則CG=6-x,
同理得:△AEF≌△AEG,
∴EG=EF=2+x,
在Rt△ECG中,由勾股定理得:(2+x)2=(6-x)2+42
x=3,
∴FC=BF+BC=3=6=9,
 在Rt△DFC中,DF=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$,
綜上所述,DF的長為6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{13}$;
故答案為:6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{13}$.

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定,本題輔助線的作法是關(guān)鍵,利用輔助線構(gòu)建全等三角形,并采用了分類討論的思想,本題容易丟解,要注意利用數(shù)形結(jié)合的思想,解決問題.

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