Question

2．在矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=4，E為AB上一點，F為CD上一點．將矩形紙片沿EF折疊，使得點A恰落在線段BC上，標為點G．
（1）如果BG=x，AE=y，寫出y關于x的關系式并給出定義域；
（2）設FD=z，試寫出z關于x的關系式（不必寫定義域）
（3）E在AB上運動，F在CD上運動時，有沒有可能使得直線GP和直線AD的夾角為30°？如可能，求出此時x的值；如不可能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用勾股定理在Rt△BEG中列式可求得y關于x的關系式；如圖2時，當F與D重合時，BG的值最大，
求出此時的最大值為：x=AE=4-2$\sqrt{3}$，寫出結論；
（2）證明△BEG∽△CGP和△BEG∽△HFP，列比例式，再把y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1代入即可得出z關于x的關系式；
（3）由∠PMD=30°，可依次推得：∠BEG=30°，則EG=2BG，即y=2x，得方程為：$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1=2x，解出即可．

解答 解：（1）如圖1，由折疊得：EG=AE=y，則BE=2-y，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，
由勾股定理得：EG²=BE²+BG²，
y²=（2-y）²+x²，
∴y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1，
如圖2，當F與D重合時，BG的值最大，
由折疊得：DG=AB=4，
在Rt△DGC中，DC=2，
CG=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴x=AE=4-2$\sqrt{3}$，
∴y關于x的關系式為：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1（0≤x≤4-2$\sqrt{3}$）；
（2）如圖1，∵∠EGP=90°，
∴∠BGE+∠PGC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BGE+∠BEG=90°，
∴∠PGC=∠BEG，
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEG∽△CGP，
∴$\frac{BG}{CP}=\frac{BE}{CG}$，
∴$\frac{x}{CP}=\frac{2-y}{4-x}$，
∴CP=$\frac{x（4-x）}{2-y}$，
∴FP=CD-DF-CP=2-z-$\frac{x（4-x）}{2-y}$，
同理得：△BEG∽△HFP，
∴$\frac{BE}{HF}=\frac{EG}{FP}$，
∴BE•FP=FH•EG，
∴（2-y）•[2-z-$\frac{x（4-x）}{2-y}$]=yz，
z=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+1$；
（3）存在，使直線GP和直線AD的夾角為30°，如圖3，
∵∠PMD=30°，
∴∠DPM=60°，
∴∠GPC=∠DPM=60°，
∵∠C=90°，
∴∠PGC=30°，
∵∠EGP=90°，
∴∠BGE=60°，
∴∠BEG=30°，
∴EG=2BG，
即y=2x，
由（1）得：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1，
∴$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1=2x，
解得：x₁=4+2$\sqrt{3}$＞4（不符合題意，舍），x₂=4-2$\sqrt{3}$，
∴當x=4-2$\sqrt{3}$時，直線GP和直線AD的夾角為30°．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形、折疊的性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理；熟練掌握折疊前后的兩邊相等，兩角相等，利用相似列比例式或利用勾股定理列等式，與方程相結合，列函數關系式或一元二次方程求解．