Question

11．方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-y={z}^{2}}\\{{y}^{2}-z={x}^{2}}\\{{z}^{2}-x={y}^{2}}\end{array}\right.$ 的解（x，y，z）有（　　）

• A． 1組
• B． 3組
• C． 4組
• D． 7組

Answer 1

分析 先相加，得：x+y+z=0，
分四種情況進行討論：前三種情況分別令三個字母的任意一個字母為0時，求方程組的解，第四種情況，當
x≠0，y≠0，z≠0時，依次對各方程利用平方差公式分解因式，分別將x+z=-y，x+y=-z，z+y=-x，代入得：z-x=1，x-y=1，y-z=1，組成新方程組，這個新方程組無解，所以可以得出原方程組一共有四組解．

解答 解：方程組為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-y={z}^{2}①}\\{{y}^{2}-z={x}^{2}②}\\{{z}^{2}-x={y}^{2}③}\end{array}\right.$，
①+②+③得：-x-y-z=0，
x+y+z=0，
分四種情況：
i）當x=0時，z=-y，
由①得：-y=z²
∴z²=z
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\\{{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-1}\\{{z}_{2}=1}\end{array}\right.$
ii）當x≠0，令y=0，則x=-z
由②得：-z=x²
∴x²=x
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\\{z=-1}\end{array}\right.$，
iii）當x≠0，y≠0，z=0時，
同理解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\\{z=0}\end{array}\right.$
iiii）當x≠0，y≠0，z≠0時，
得x+z=-y，x+y=-z，z+y=-x，
由①得：（x+z）（x-z）=y，
-y（x-z）=y，
當y≠0時，z-x=1，
由②得：（y-x）（y+x）=z，
-z（y-x）=z，
當z≠0時，x-y=1，
由③得：（z-y）（z+y）=x，
-x（z-y）=x，
當x≠0時，y-z=1，
則$\left\{\begin{array}{l}{z-x=1}\\{x-y=1}\\{y-z=1}\end{array}\right.$，
此方程組無解，
所以原方程組有四組解，
故選C．

點評 本題考查了高次方程的解法，解高次方程的思路為：通過適當的方法，把高次方程化為次數較低的方程求解；所以解高次方程一般要降次，即把它轉化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．