Question

3．定義：如果代數式a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數）與a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數），滿足a₁+a₂=0，b₁+b₂=0，c₁+c₂=0，則稱兩個代數式互為”牛郎織女式”
（1）寫出-x²+2x-3的“牛郎織女式”；
（2）若-x²-18mx-3與x²-2nx+n互為“牛郎織女式”，求（mn）²⁰¹⁵的值；
（3）無論x取何值時，代數式x²-2x+a的值總大于其“牛郎織女式”的值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據定義即可求出-x²+2x-3的“牛郎織女式”；
（2）根據定義求出m與n的值，代入原式求值即可；
（3）利用作差法即可求出a的范圍．

解答 解：（1）設-x²+2x-3的“牛郎織女式”為ax²+bx+c
由題意可知：a=1，b=-2，c=3，
∴-x²+2x-3的“牛郎織女式”為x²-2x+3；
（2）由題意可知：-18m-2n=0，-3+n=0，
解得：m=-$\frac{1}{3}$，n=3，
∴原式=（-1）²⁰¹⁵=-1；
（3）x²-2x+a的“牛郎織女式”為-x²+2x-a，
∴由題意可知：x²-2x+a＞-x²+2x-a對于任何x都成立，
∴x²-2x+a-（-x²+2x-a）＞0，
∴a＞-x²+2x，
∴a＞-（x-1）²+1對于任何的x都成立，
∵-（x-1）²+1的最大值為1，
∴a＞1，

點評 本題考查學生的閱讀理解能力，涉及相反數的性質，解方程，代入求值，不等式的解法，配方法求值最值等知識．