Question

12．已知拋物線y=x²-2mx+m²-1（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，直線l：y=x-1．
（1）求證：點(diǎn)P在直線l上．
（2）若拋物線的對(duì)稱軸為x=-3，直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-3，-4），與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），（-1，0）．
（3）在（2）條件下，拋物線上點(diǎn)（-2，b）在圖象上的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（-4，-3）．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到y(tǒng)=（x-m）²+m-1，點(diǎn)P（m，m-1），然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)P在直線l上；
（2）由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為x=m，結(jié)合已知條件則可得m=-3，進(jìn)而可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)y=0，則x軸交點(diǎn)坐標(biāo)也可求出；
（3）把點(diǎn)（-2，b）代入拋物線解析式可求出b的值，進(jìn)而可求出在圖象上的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）證明：∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m-1），
∵當(dāng)x=m時(shí)，y=x-1=m-1，
∴點(diǎn)P在直線l上；
（2）由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為x=m，
∵x=-3，
∴m=-3，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，-4），
設(shè)y=0，則0=x²+6x+5，
解得：x=-5或-1，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），（-1，0），
故答案為：（-3，-4），
（2）把點(diǎn)（-2，b）代入y=x²+6x+5得：b=-3，
∵拋物線對(duì)稱軸為x=-3，
∴（-2，-3）的對(duì)稱點(diǎn)為（-4，-3），
故答案為：（-4，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求拋物線與x的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解拋物線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．