Question

14．如圖1，已知：函數(shù)y=-0.5x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與函數(shù)y=x的圖象交于M點(diǎn)，MH⊥x軸于H（2，0），P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，從H點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)t秒，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)分別交y=-0.5x+b和y=x的圖象于C、D兩點(diǎn)．
（1）b=3；點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，CD=5PC；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，以M、D、A為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由題意點(diǎn)M坐標(biāo)（2，2），代入y=-0.5x+b中，即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形討論即可①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=-t+2，由CD=5PC，可得方程3t=5（-t+2）．②當(dāng)t＞2時(shí)，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=t-2，
由CD=5PC，可得方程3t=5（t-2），由此解方程即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形討論即可①作AD⊥OM于D，此時(shí)△ADM是直角三角形．②作AD′⊥AB交OM于D′，此時(shí)△AMD′是直角三角形，分別利用方程組求出交點(diǎn)D或D′的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M在直線(xiàn)y=x上，H（2，0），
∴OH=MH=2，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（2，2），把M（2，2）代入y=-0.5x+b中，2=-1+b，
∴b=3，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-0.5x+3，
令y=0，得x=6，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（6，0）．
故答案為3，（6，0）．

（2）∵P（2t+2，0），
∴C（2t+2，-t+2），D（2t+2，2t+2）
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=-t+2，
∵CD=5PC，
∴3t=5（-t+2），
∴t=$\frac{5}{4}$．
②當(dāng)t＞2時(shí)，CD=2t+2-（-t+2）=3t，CP=t-2，
∵CD=5PC，
∴3t=5（t-2），
∴t=5．
綜上所述，t=$\frac{5}{4}$s或5s時(shí)CD=5PC．

（3）如圖，①作AD⊥OM于D，此時(shí)△ADM是直角三角形．
∵直線(xiàn)AD的解析式為y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（3，3），
∴HC=1，
∴t=$\frac{1}{2}$．
②作AD′⊥AB交OM于D′，此時(shí)△AMD′是直角三角形，
∵直線(xiàn)AD′的解析式為y=2x-12，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2x-12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴D′（12，12），
∴HC′=10，
∴t=5．
綜上所述，t=$\frac{1}{2}$s或5s時(shí)，△ADM是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、直角三角形的判定和性質(zhì)、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記住兩直線(xiàn)垂直k的乘積為-1，屬于中考?jí)狠S題．