Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是（4，a）（a＞4），半徑為4，函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為4$\sqrt{3}$，則a的值是4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，由于OC=4，PC=a，易得D點坐標為（4，4），則△OCD為等腰直角三角形，△PED也為等腰直角三角形．由PE⊥AB，根據垂徑定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，在Rt△PBE中，利用勾股定理可計算出PE=2，則PD=$\sqrt{2}$PE=2$\sqrt{2}$，所以a=4+2$\sqrt{2}$．

解答 解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，如圖，
∵⊙P的圓心坐標是（4，a），
∴OC=4，PC=a，
把x=4代入y=x得y=4，
∴D點坐標為（4，4），
∴CD=4，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴△PED也為等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△PBE中，PB=4，
∴PE=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴PD=$\sqrt{2}$PE=2$\sqrt{2}$，
∴a=4+2$\sqrt{2}$．
故答案為：4+2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了一次函數的綜合應用，涉及圓的性質、垂徑定理、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識點．作出P到x軸的距離、求得D點的坐標是解題的關鍵，本題所考查知識較基礎，難度不大．