Question

19．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點（A左、右B），與y軸交于點C．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在點P使得△PBC的面積等于△OBC的面積？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先通過解方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0得A（-1，0），B（4，0），再求自變量為0時的函數值得到C（0，2），接著根據兩點間的距離公式計算出AC²=5，AB²=25，BC²=20，然后利用勾股定理的逆定理可證明△ABC為直角三角形；
（2）過P作PD⊥x軸交BC于點D，如圖，先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，利用拋物線上點的坐標特征，設P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），0＜t＜3，則D（t，-$\frac{1}{2}$t+2），于是可表示出PD=-$\frac{1}{2}$t²+2t，然后利用S_△PCB=S_△PDB+S_△PDC得到S_△PCB=-t²+4t，而S_△OBC=4，所以-t²+4t=4，再求方程得t=2，所以可判斷在直線BC上方的拋物線上存在點P使得△PBC的面積等于△OBC的面積．

解答 （1）證明：當y=0時，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，則A（-1，0），B（4，0），
當x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，則C（0，2），
所以AC²=1²+2²=5，AB=4-（-1）=5，即AB²=25，BC²=4²+2²=20，
因為AC²+BC²=AB²，
所以△ABC為直角三角形；
（2）解：存在．理由如下：
過P作PD⊥x軸交BC于點D，如圖，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），0＜t＜3，則D（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
所以PD=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t
因為S_△PCB=S_△PDB+S_△PDC=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）=-t²+4t，S_△OBC=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
所以-t²+4t=4，解得t=2，此時P點坐標為（2，3），
所以在直線BC上方的拋物線上存在點P使得△PBC的面積等于△OBC的面積．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．解決（2）小題的關鍵把△BPC化為兩個三角形計算面積．