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19.如圖,已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點(A左、右B),與y軸交于點C.
(1)求證:△ABC是直角三角形;
(2)在直線BC上方的拋物線上是否存在點P使得△PBC的面積等于△OBC的面積?并說明理由.

分析 (1)先通過解方程-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=0得A(-1,0),B(4,0),再求自變量為0時的函數值得到C(0,2),接著根據兩點間的距離公式計算出AC2=5,AB2=25,BC2=20,然后利用勾股定理的逆定理可證明△ABC為直角三角形;
(2)過P作PD⊥x軸交BC于點D,如圖,先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2,利用拋物線上點的坐標特征,設P(t,-$\frac{1}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t+2),0<t<3,則D(t,-$\frac{1}{2}$t+2),于是可表示出PD=-$\frac{1}{2}$t2+2t,然后利用S△PCB=S△PDB+S△PDC得到S△PCB=-t2+4t,而S△OBC=4,所以-t2+4t=4,再求方程得t=2,所以可判斷在直線BC上方的拋物線上存在點P使得△PBC的面積等于△OBC的面積.

解答 (1)證明:當y=0時,-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=0,解得x1=-1,x2=4,則A(-1,0),B(4,0),
當x=0時,y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=2,則C(0,2),
所以AC2=12+22=5,AB=4-(-1)=5,即AB2=25,BC2=42+22=20,
因為AC2+BC2=AB2
所以△ABC為直角三角形;
(2)解:存在.理由如下:
過P作PD⊥x軸交BC于點D,如圖,
設直線BC的解析式為y=kx+b,
把B(4,0),C(0,2)代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$,
所以直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2,
設P(t,-$\frac{1}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t+2),0<t<3,則D(t,-$\frac{1}{2}$t+2),
所以PD=-$\frac{1}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t+2-(-$\frac{1}{2}$t+2)=-$\frac{1}{2}$t2+2t
因為S△PCB=S△PDB+S△PDC=$\frac{1}{2}$×4×(-$\frac{1}{2}$t2+2t)=-t2+4t,S△OBC=$\frac{1}{2}$×2×4=4,
所以-t2+4t=4,解得t=2,此時P點坐標為(2,3),
所以在直線BC上方的拋物線上存在點P使得△PBC的面積等于△OBC的面積.

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題:把求二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程.解決(2)小題的關鍵把△BPC化為兩個三角形計算面積.

練習冊系列答案
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