Question

17．如圖所示，在等腰三角形ABC中．底邊BC上有任意一點P，則點P到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF，若點P在BC的延長線上，那么PD，PE和CF存在什么等式關系？寫出你的猜想并加以證明．（提示：有三個角等于90°的四邊形是長方形．）

Answer 1

分析 先過點C作CG⊥PD于G，構造矩形CFDG，得出CF=DG，再判定△PCG≌△PCE（AAS），得出PG=PE，進而得到PD=DG+PG=CF+PE．

解答 解：PD=CF+PE．
證明：如圖所示，過點C作CG⊥PD于G，則∠CGD=90°，
∵CF⊥AB，PD⊥AB，
∴∠CFD=∠GDF=90°，
∴四邊形CFDG是長方形，
∴CF=DG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵CG∥AB，
∴∠PCG=∠B，
又∵∠ACB=∠PCE，
∴∠PCG=∠PCE，
∵PE⊥AE，
∴∠PGC=∠E=90°，
在△PCG和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGC=∠E}\\{∠PCG=∠PCE}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△PCE（AAS），
∴PG=PE，
∴PD=DG+PG=CF+PE．

點評 本題主要考查了矩形的判定與全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造矩形和全等三角形，根據矩形對邊相等以及全等三角形對應邊相等計算推導．