Question

11．在Rt△ABC中，AC=BC，D為形內一點，滿足∠DCB=∠DBC=15°．判斷AC與AD有怎樣的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 以BC為邊向外作等邊三角形BCE，連接DE，根據等邊三角形的性質得到∠BCE=∠CBE=60°，BE=CE=BC，求得∠ECD=∠EBD=75°，推出△BDE≌△CDE，得到∠EDC=75°證得∠ACD=∠ECD=75°推出ACD≌△ECD，根據全等三角形的性質得到AC=CE，AD=DE即可得到結論．

解答 解：AC=AD，
理由：以BC為邊向外作等邊三角形BCE，連接DE，
∴∠BCE=∠CBE=60°，BE=CE=BC，
∵∠DCB=∠DBC=15°，
∴BD=CD，∠ECD=∠EBD=75°，
在△BDE與△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDE，
∴$∠BED=∠CED=\frac{1}{2}∠BEC=30°$，
∴∠EDC=75°，
∴∠ECD=∠EDC=75°，
∴CE=DE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=75°，
∴∠ACD=∠ECD=75°，
∵AC=BC，
∴CA=CE，
在△ACD與△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴ACD≌△ECD，
∴AC=CE，AD=DE，
∵CE=DE，
∴AC=AD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．