Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）求證：∠BAC+∠BCE=180°；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則∠BAC與∠BCE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由已知角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；
（2）由（1）的結(jié)論，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠B=∠ACE，在三角形ABC中，利用內(nèi)角和定理列出等式，等量代換即可得證；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，找出∠BAC與∠BCE數(shù)量關(guān)系即可．

解答 （1）證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）證明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE=180°；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，如圖1所示，

此時(shí)∠BAC+∠BCE=180°；
當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，

此時(shí)∠BAC=∠BCE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．