Question

16．如圖，拋物線y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2，與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，點(diǎn)H在第四象限的拋物線上．BH交x軸于E點(diǎn)．點(diǎn)P（x，y）為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥BM垂足為E點(diǎn)．若PE=n，y+n=2，求BM的解析式．

Answer 1

分析 由拋物線的解析式求出B和A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=2x+2；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x+2），得出2x+2+n=2，因此n=-2x，得出PE=-2x，過P作PF⊥y軸于F，證出BF=PE，由HL證明Rt△PFB≌Rt△BEP，得出∠BPF=∠PBE，再由平行線的性質(zhì)得出∠BAM=∠PBE，證出△ABM是等腰三角形，MA=MB，設(shè)M（t，0），由兩點(diǎn)間的距離公式得出方程，解方程求出M的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求出直線BM的解析式即可．

解答 解：拋物線y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴B（0，2）；
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{7}{6}$x+2=0，
解得：x=-1，或x=$\frac{5}{12}$，
∵A在x軸負(fù)半軸，
∴A（-1，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=2x+2；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x+2），
∵y+n=2，
∴2x+2+n=2，
∴n=-2x，
∴PE=-2x，
過P作PF⊥y軸于F，如圖所示：
則∠PFB=90°=∠BEP，BF=BO-FO=2-y=2-（2x+2）=-2x，
∴BF=PE，
在Rt△PFB和Rt△BEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP}\\{BF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFB≌Rt△BEP（HL），
∴∠BPF=∠PBE，
又∵PF∥x軸，
∴∠BAM=∠BPF，
∴∠BAM=∠PBE，
∴△ABM是等腰三角形，
∴MA=MB，
設(shè)M（t，0），
由兩點(diǎn)間的距離公式得：（t+1）²=t²+（0-2）²，
解得：t=$\frac{3}{2}$，即M（$\frac{3}{2}$，0），
設(shè)直線BM的解析式為y=ax+c，
把點(diǎn)B、M的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{3}{2}a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故直線BM的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要通過作輔助線證明三角形全等和運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式才能得出M的坐標(biāo)．