Question

7．如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，
△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）△AOD能否為等邊三角形？為什么？
（4）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據全等三角形的性質得到OC=DC，根據等邊三角形的判定定理證明即可；
（2）根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結合圖形計算即可；
（3）用反證法，假設△AOD能否為等邊三角形，根據題意證明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推出矛盾；
（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況，根據等腰三角形的判定定理計算即可．

解答 （1）證明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形；
（2）△AOD是Rt△．
理由如下：
解：∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△；
（3）不能．理由：
解：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．
若△AOD為等邊三角形，
則∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，
∴∠ADC=∠α=120°．
又∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°＜360°．
∴△AOD不可能為等邊三角形；
（4）∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①當∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，∴α=125°．
②當∠AOD=∠OAD時，190°-α=50°，∴α=140°．
③當∠ADO=∠OAD時，α-60°=50°，∴α=110°．
綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相關的判定定理是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．