Question

1．如圖，點M、N分別是等邊三角形ABC中AB，AC邊上的點，點A關于MN的對稱點落在BC邊上的點D處．若$\frac{BD}{DC}$=$\frac{2}{3}$，則$\frac{AM}{AN}$的值$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 由BD：DC=2：3，可設BD=2a，則CD=3a，根據等邊三角形的性質和折疊的性質可得：BM+MD+BD=7a，DN+NC+DC=8a，再通過證明△BMD∽△CDN即可證明AM：AN的值．

解答 解：∵BD：DC=2：3，
∴設BD=2a，則CD=3a，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=5a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
由MN是線段AD的垂直平分線，
∴AM=DM，AN=DN，
∴BM+MD+BD=7a，DN+NC+DC=8a，
∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴$\frac{BM+MD+BD}{DN+NC+CD}=\frac{AM}{AN}$，
即$\frac{AM}{AN}=\frac{7}{8}$．
故答案為$\frac{7}{8}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質以及線段的垂直平分線的性質，熟記線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．