Question

4．在平行四邊形ABCD中，AC是對角線，∠ACD=90°．點E是BC的中點，AF平分∠BAC，CF⊥AF于點F．連接EF．
（1）求證：∠AFE=∠CFE；
（2）過點B作BG⊥AF分別交AF、AC于點H、G．求證：EF=$\frac{1}{2}$CG．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，得出∠BAC=∠ACD=90°，由直角三角形的性質(zhì)得出AE=$\frac{1}{2}$BC=BE=CE，證出△ACF是等腰直角三角形，得出AF=CF，再由SSS證明△AEF≌△CEF，得出對應(yīng)角相等即可；
（2）延長AB、CF交于點K，證出BG∥CF，由平行線的性質(zhì)得出∠AGB=∠ACF=45°，證明△ABG和△AKC是等腰直角三角形，得出AB=AG，AK=AC，因此BK=CG，證明EF是△BCK的中位線，得出EF=$\frac{1}{2}$BK，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∵E為BC的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=BE=CE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=45°，
∵AF⊥CF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF=CF，∠ACF=45°，
在△AEF和△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{EF=EF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEF（SSS），
∴∠AFE=∠CFE；

（2）證明：延長AB、CF交于點K，如圖所示：
∵BG⊥AF，CF⊥AF，
∴BG∥CF，
∴∠AGB=∠ACF=45°，
∴△ABG和△AKC是等腰直角三角形，
∴AB=AG，AK=AC，
∴BK=CG，
∵AF⊥CF，
∴KF=CF，
∴EF是△BCK的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$BK，
∴EF=$\frac{1}{2}$CG．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明EF是三角形中位線是解決問題（2）的關(guān)鍵．