Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AD交BC于D，過C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N．
（1）求證：△ANC為等腰三角形；
（2）試判斷BN與CD的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的性質結合三角形內角和定理得出∠ANH=∠ACH，進而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法得出△AND≌△ACD（ASA），進而得出DN=DC，∠AND=∠ACD，即可得出∠B=∠NDB，進而得出答案．

解答 （1）證明：∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC為等腰三角形；

（2）解：BN=CD，
原因如下：如圖：連接ND
∵△AND和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAD=∠CAD}\\{AH=AH}\\{∠AHN=∠AHC}\end{array}\right.$
∴△AND≌△ACD（ASA），
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴NB=ND，
∴BN=CD．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定和角平分線的性質等知識，正確掌握全等三角形的判定與性質是解題關鍵．