Question

13．我們把三角形三邊上的高產生的三個垂足組成的三角形稱為該三角形的垂足三角形．已知等腰三角形的腰長為5，底邊長為6，則該三角形的垂足三角形的周長是（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． $\frac{192}{25}$
• D． $\frac{112}{25}$

Answer 1

分析 根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DF與BC的關系，DE與BC的關系，根據相似三角形的性質，可得EF的長，根據三角形的周長，可得答案．

解答 解：AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，
BD=CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC=3，DE=$\frac{1}{2}$BC=3，
設AE=x，由勾股定理得
AB²-AF²=BC²-CF²
5²-x²=6²-（5-x）²，
x=$\frac{7}{5}$，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{\frac{7}{5}}{5}$=$\frac{EF}{6}$，
解得EF=$\frac{42}{25}$，
∴該三角形的垂足三角形的周長是：3+3+$\frac{42}{25}$=$\frac{192}{25}$．
故選：C．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質以及直角三角形的性質，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．