Question

2．如圖，已知點A、B、C的坐標分別A（1，6）、B（1，0）、C（5，0）．若點P在∠ABC的平分線上，且PA=PC，則點P的坐標為（6，5）．

Answer 1

分析 PA=PC，則P在線段AC的中垂線上，則∠ABC的角平分線和線段AC的中垂線的交點就是點P，求得線段AC的中垂線和∠ABC的平分線的解析式，解兩個解析式組成的方程組即可求得P的坐標．

解答 解：設AC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
則直線AC的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$；
則設AC的垂直平分線的解析式是y=$\frac{2}{3}$x+c，
AC的中點是（3，3），則3=2+c，
解得c=1，
則線段AC的垂直平分線的解析式是y=$\frac{2}{3}$x+1．
∠ABC的角平分線一定過點B（1，0）和（2，1）．
設角平分線的解析式是y=mx+n，則$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
則∠ABC的平分線的解析式是y=x-1．
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=5}\end{array}\right.$，
則∠ABC的角平分線和線段AC的中垂線的交點是（6，5）．即P的坐標是（6，5）．
故答案是（6，5）．

點評 本題考查了線段的垂直平分線的性質以及角的平分線的性質，理解P在AC的垂直平分線上是關鍵．