Question

2．我們定義：“四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的正方形是三角形的內(nèi)接正方形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如圖1，四邊形CDEF是△ABC的內(nèi)接正方形，則正方形CDEF的邊長(zhǎng)a₁是2；
（2）如圖2，四邊形DGHI是（1）中△EDA的內(nèi)接正方形，則第2個(gè)正方形DGHI的邊長(zhǎng)a₂=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可以得出△BFE∽△BCA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以把正方形CDEF的邊長(zhǎng)表示出來(lái)，從而得出結(jié)論；
（2）由正方形的性質(zhì)可以得出△EIH∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以把正方形IDGF的邊長(zhǎng)表示出來(lái)，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形CDEF是正方形，
∴EF=FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{AC}$，
設(shè)EF=FC=a，
∴$\frac{3-a}{3}$=$\frac{a}{6}$，
∴a=2，
故答案是：2；
（2）∵四邊形DGHI是正方形，
∴IH=ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴$\frac{IE}{DE}$=$\frac{IH}{AD}$，
設(shè)IH=ID=b，AD=4，DE=2，
∴$\frac{2-b}{2}$=$\frac{b}{4}$，
∴b=$\frac{4}{3}$．
故答案是：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．