Question

13．如圖，等腰直角三角形ABC，斜邊上一動點P，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角三角形，頂點為D，點M是AC邊中點，連接MD，延長交斜邊于點N，求證：BN=CN．

Answer 1

分析 延長AD到E，交BC于F，使得AD=DE連接CE、PE，得到△APE是等腰直角三角形，根據三角形的中位線的性質得到DM∥CE，推出點A，P，E，C四點共圓，根據圓周角定理得到∠ACP=∠ECP=45°，得到CE⊥AC，NM⊥AC，證得NM∥AB于是得到結論．

解答 解：延長AD到E，交BC于F，使得AD=DE連接CE、PE，
∵△ADP是等腰直角三角形，
∴△APE是等腰直角三角形，
∵M是AC中點，
∴DM∥CE，
∵∠APC=45°+∠CPD=45°+∠BAP，
∴∠CPD=∠BAP，
∵∠BAP+∠CAD=∠CPE+∠CPD=45°，
∴∠CPE=∠CAD，
∵∠AFC=∠PFE，
∴點A，P，E，C四點共圓，
∴∠ACP=∠ECP=45°，
∴∠ACE=∠ACP+∠ECP=90°，
∴CE⊥AC，NM⊥AC，
∵AB⊥AC
∴NM∥AB
∴N為BC中點，BN=CN．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，三角形中位線的性質，四點共圓，正確作出輔助線是解題的關鍵．