Question

2．在四邊形ABCD中，∠BAC+∠BDC=180°，BD=DC，求證：AD平分∠BAC．

Answer 1

分析 過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延長線于F，根據(jù)四邊形的內角和得到∠BAC+∠EDF=180°，等量代換即可得到∠BDC=∠EDF，進而得到∠BDE=∠CDF，再證明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到DE=DF，所以AD平分∠BAC．

解答 解：如圖，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延長線于F，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=90°，∠AFD=90°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴在四邊形AEDF中，∠EAC+∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD）=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF，
∴∠BDE=∠CDF，
在Rt△BDE與Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，四邊形的內角和，角平分線的性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．