Question

8．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，cot∠ADB=$\frac{3}{4}$，AB=16．點E在射線BC上，點F在線段BD上，且∠DEF=∠ADB．
（1）求線段BD的長；
（2）設BE=x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數定義域；
（3）當△DEF為等腰三角形時，求線段BE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質和三角函數定義求出AD，由勾股定理求出BD即可；
（2）證明△EDF∽△BDE，得出$\frac{{{S_{△DEF}}}}{{{S_{△BDE}}}}={（{\frac{DE}{BD}}）^2}$，求出CE=|x-12|，由勾股定理求出DE，即可得出結果；
（3）當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，分情況討論：
①當BE=BD時；②當DE=DB時；③當EB=ED時；分別求出BE即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△BAD中，$cot∠ADB=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$，AB=16，
∴AD=12∴$BD=\sqrt{A{D^2}+A{B^2}}=20$；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DEF=∠ADB，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴$\frac{{{S_{△DEF}}}}{{{S_{△BDE}}}}={（{\frac{DE}{BD}}）^2}$，
∵BC=AD=12，BE=x，
∴CE=|x-12|，
∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，$DE=\sqrt{{{16}^2}+{{（{x-12}）}^2}}=\sqrt{{x^2}-24x+400}$，
∵${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}×BE×CD=\frac{1}{2}•x•16=8x$，
∴$\frac{y}{8x}={（{\frac{{\sqrt{{x^2}-24x+400}}}{20}}）^2}$，
∴$y=\frac{{{x^3}-24{x^2}+400x}}{50}$，定義域為0＜x≤24
（3）∵△EDF∽△BDE，
∴當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，
①當BE=BD時
∵BD=20，
∴BE=20
②當DE=DB時，
∵DC⊥BE，
∴BC=CE=12，
∴BE=24；
③當EB=ED時，
作EH⊥BD于H，則BH=$\frac{1}{2}BD=10$，cos∠HBE=cos∠ADB，
即$\frac{AD}{BD}=\frac{BH}{BE}$
∴$\frac{12}{20}=\frac{10}{BE}$，
解得：BE=$\frac{50}{3}$；
綜上所述，當△DEF時等腰三角形時，線段BE的長為20或24或$\frac{50}{3}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、三角函數定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解決問題的關鍵．