Question

3．如圖，已知點D是△ABC的邊BC上一點，且BD=$\frac{1}{2}$CD，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）求向量$\overrightarrow{AD}$（用向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$表示）；
（2）求作向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$方向上的分向量．
（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法則進行計算；
（2）根據向量加法的平行四邊形法則，過向量$\overrightarrow a$的起點作BC的平行線，即可得出向量向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$方向上的分向量．

解答 解：（1）∵$BD=\frac{1}{2}CD$，
∴$BD=\frac{1}{3}BC$
∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow b$
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow a+\frac{1}{3}\overrightarrow b$；

（2）解：如圖，

所以，向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AE}$即為所求的分向量．

點評 本題考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定義，以及向量加法的平行四邊形法則．