Question

9．在平面直角坐標系xOy中，二次函數圖象所在的位置如圖所示：
（1）請根據圖象信息求該二次函數的表達式；
（2）將該圖象（x＞0）的部分，沿y軸翻折得到新的圖象，請直接寫出翻折后的二次函數表達式；
（3）在（2）的條件下與原有二次函數圖象構成了新的圖象，記為圖象G，現有一次函數 y=$\frac{2}{3}$x+b的圖象與圖象G有4個交點，請畫出圖象G的示意圖并求出b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法求得即可；
（2）求得頂點坐標，進而求得對折后的頂點坐標，即可求得解析式；
（3）根據圖象可知：當直線與y=x²+4x+3（x＜0）有兩個交點時，則與圖象G有4個交點，由此求得即可．

解答 解：（1）由圖象可知拋物線經過點（1，0），（3，0），（0，3），
設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），
代入（0，3）得，3a=3，
解得a=1，
∴y=（x-1）（x-3），
即：y=x²-4x+3． 
（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∵頂點為（2，-1），
∴沿y軸翻折得到新的圖象頂點為（-2，-1），
∴翻折后的二次函數表達式y=x²+4x+3（x＜0）；
（3）示意圖正確            

解${x^2}+4x+3=\frac{2}{3}x+b$
整理得：${x^2}+\frac{10}{3}x+3-b=0$
∵△=${（{\frac{10}{3}}）^2}-4×1•（3-b）＞0$
解得：$b＞\frac{2}{9}$，
當$y=\frac{2}{3}x+b$過（0，3）時，b=3，
所以綜上所述符合題意的b的取值范圍是$\frac{2}{9}＜b＜3$．

點評 本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，待定系數法求二次函數的解析式以及一次函數的圖象與系數的關系，熟練掌握待定系數法以及對折的性質是解題的關鍵．