Question

4．在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B、C重合），連結AD．
（1）如圖1，當點D是BC邊上的中點時，S_△ABD：S_△ACD=1：1；
（2）如圖2，當AD是∠BAC的平分線時，若AB=m，AC=n，求S_△ABD：S_△ACD的值（用含m，n的代數式表示）
（3）如圖3，AD平分∠BAC，延長AD到E，使得AD=DE，連接BE，如果AC=2，AB=4，S_△BDE=6，那么S_△ABC=9．

Answer 1

分析 （1）過A作AE⊥BC于E，根據三角形面積公式求出即可；
（2）過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據角平分線性質求出DE=DF，根據三角形面積公式求出即可；
（3）根據已知和（1）（2）的結論求出△ABD和△ACD的面積，即可求出答案．

解答 解：（1）
過A作AE⊥BC于E，
∵點D是BC邊上的中點，
∴BD=DC，
∴S_ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$×BD×AE）：（$\frac{1}{2}$×CD×AE）=1：1，
故答案為：1：1；

（2）
過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD為∠BAC的角平分線，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴S_ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$×AB×DE）：（$\frac{1}{2}$×AC×DF）=m：n；

（3）
∵AD=DE，
∴由（1）知：S_△ABD：S_△EBD=1：1，
∵S_△BDE=6，
∴S_△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S_△ACD=3，
∴S_△ABC=3+6=9，
故答案為：9．

點評 本題考查了角平分線性質和三角形的面積公式，能根據（1）（2）得出規律是解此題的關鍵．