Question

1．如圖，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD，BC分別交于點E，F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G，
（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=2$\sqrt{2}$-1，求KD的長度．

Answer 1

分析 （1）①先根據AAS判定△DOK≌△BOG，②再根據等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質，得出結論BG=AB+AK；
（2）①先根據等量代換得出AF=KG=KD=BG，再設AB=a，根據AK=FG列出關于a的方程，求得a的值，進而計算KD的長；

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO
∵點O是BD的中點
∴DO=BO
在△KDO和△GBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KDO=∠GBO}\\{∠KOD=∠BOG}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△DOK≌△BOG（AAS）

②∵四邊形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK∥AF，AK∥FG
∴四邊形AFGK是平行四邊形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK

（2）①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形
∴AK=FG，AF=KG
又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG
∴AF=KG=KD=BG
設AB=a，則AF=KG=KD=BG=$\sqrt{2}$a
∴AK=2$\sqrt{2}$-1-$\sqrt{2}$a，FG=BG-BF=$\sqrt{2}$a-a
∴2$\sqrt{2}$-1-$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$a-a
解得a=1，
∴KD=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了矩形的性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，解答此題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．