Question

16．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的面積分別為4平方厘米和36平方厘米，∠DCG=90°，M是BF的中點，則三角形DMG的面積為5平方厘米．

Answer 1

分析 如圖，作MK⊥DG于K，CN⊥DG于N，FH⊥DG于H，BT⊥DG于T．想辦法求出FH、BT，證明MK是梯形FHTB的中位線，根據梯形中位線定理求出MK即可解決問題．

解答 解：如圖，作MK⊥DG于K，CN⊥DG于N，FH⊥DG于H，BT⊥DG于T．

∵正方形ABCD和正方形CEFG的面積分別為4平方厘米和36平方厘米，
∴FG=CG=6cm，CD=CB=2cm，∠FGC=∠GCD=∠H=∠CNG=90°，
∴∠FGH+∠HFG=90°，∠FGH+∠CGN=90°，
∴∠HFG=∠CGN，
在△FGH和△GCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠CNG}\\{∠HFG=∠CGN}\\{FG=GC}\end{array}\right.$，
∴△FGH≌△GCN，
∴FH=GN，
在Rt△GCD中，DG=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$cm，CN=$\frac{CG•DC}{DG}$=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$cm，
∴FH=GN=$\sqrt{C{G}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{3}{5}\sqrt{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$cm，
∵CN∥BT，
∴$\frac{CN}{BT}$=$\frac{GC}{GB}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}\sqrt{10}}{BT}$=$\frac{6}{8}$，
∴BT=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$cm，
∵FM=MB，MK∥FH∥BT，
∴KH=KT，
∴MK=$\frac{FH+BT}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$cm，
∴S_△MGD=$\frac{1}{2}$•GD•MK=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{10}$•$\frac{\sqrt{10}}{2}$=5cm²．
故答案為5．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、梯形的中位線定理、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，構造梯形利用梯形中位線定理解決三角形的高，屬于中考填空題中的壓軸題．